Derivatet numrat: Metodat llogaritëse dhe shembuj

Ndoshta koncepti i derivativit është e njohur për të gjithë ne që nga shkolla e mesme. Zakonisht studentët kanë vështirësi për të kuptuar kjo është padyshim një gjë shumë e rëndësishme. Ajo është përdorur në mënyrë aktive në fusha të ndryshme të jetës së njerëzve, dhe shumë inxhinieri janë bazuar pikërisht në llogaritjet matematikore të marra nga derivat. Por, përpara se të një analize të asaj që është një derivat i numrave si ata llogarisin dhe ku ata do të jetë në dispozicion, të gërmoj nëpër libra pak në histori.

histori

Koncepti i derivati, e cila është baza e analizës matematikore, ishte e hapur (edhe më të mirë për të thënë "shpikur", sepse ajo është, si e tillë, nuk ekziston në natyrë) Isaakom Nyutonom, që e dimë të gjithë nga zbulimi i ligjit të gravitetit. Ishte ai që i pari përdorur këtë koncept në fizikë për natyrën detyruese të shpejtësisë dhe përshpejtimin e organeve. Dhe shumë shkencëtarë ende lavdërojnë Njutonit për këtë shpikje të mrekullueshme, sepse në fakt ai shpiku bazën e njehsim diferencial dhe integral, bazën faktike të gjithë fushën e matematikës të quajtur "analiza matematikore". Nëse në kohën e çmimit Nobel, Newton ka gjasa do të kishte marrë atë disa herë.

Jo pa mendjet e tjera të mëdha. Përveç Newton në zhvillimin e punuar gjenive derivative dhe integrale të tillë të shquar të matematikës si Leonhard Euler, Lagranzhit dhe Louis Gotfrid Leybnits. Kjo është në sajë të tyre ne kemi teorinë e njehsim diferencial në formën në të cilën ajo ekziston sot e kësaj dite. Rastësisht, kjo është Leibniz zbuluar kuptimin gjeometrik të derivatit, e cila ishte asgjë më shumë se shpatin e tangjent me grafikun e funksionit.

Çfarë është një derivat i numrave? Bit përsëris atë që ndodhi në shkollë.

Çfarë është një derivativ?

Përcaktojnë këtë koncept në disa mënyra të ndryshme. Shpjegimi më i thjeshtë: derivateve - kjo është shkalla e funksionit të ndryshimit. Përfaqësojnë graf e ndonjë y funksionin e x. Nëse nuk është e drejtë, ajo ka disa kthesa në grafik, periudhat e rritjes dhe uljes. Nëse ju merrni ndonjë interval pambarimisht e planit, ajo do të jetë një segment i drejtë linjë. Kështu, raporti i madhësisë së një segment te vogël e y me madhësinë e x koordinativ dhe do të jetë një derivat i funksionit në një pikë të dhënë. Nëse marrim parasysh funksionin në tërësi, në vend se në një pikë të veçantë, ne kemi marrë një funksion të derivativit, pra një varësi të caktuar në X y.

Përveç kësaj, përveç kuptimit fizik të derivativit si një funksion i normës së ndryshimit, ka edhe një kuptim gjeometrike. Në të, ne tani diskutojmë.

Kuptimi gjeometrik

Derivatet vetë numrat janë një numër të caktuar që nuk është një kuptim i duhur nuk ka kryer asnjë kuptim. Ajo rezulton se derivativi nuk është vetëm tregon shkallën e rritjes ose ulur funksionin, dhe shpatin e tangjent me grafikun e funksionit në atë pikë. përcaktimi jo krejtësisht të qarta. Le të shqyrtojmë atë në detaje. Supozoni se ne kemi një grafik të një funksioni (për të marrë kurbë të interesit). Ajo ka një numër të pafund të pikave, por ka zona ku vetëm një pikë e vetme ka një maksimum apo minimum. Nëpërmjet çdo moment të tillë, ju mund të tërheqë një vijë të drejtë, i cili do të jetë pingul me grafikun e funksionit në atë pikë. Kjo linjë do të quhet një tangente. Supozoni se ne të mbajtur atë deri në kryqëzimin me aksin kau. Pra, marrë në mes të tangjent dhe boshti OX dhe kënd do të përcaktohet nga derivat. Më konkretisht, tangjent i këtij kënd do të jetë e barabartë me të.

Le të flasim pak për raste të veçanta dhe derivatet Le të shqyrtojmë numrat.

raste të veçanta

Siç e kemi përmendur tashmë, derivatet e numrave - një vlerë derivativ në një pikë të caktuar. Këtu, për shembull, të marrë funksionin y = x ^2. Derivati i x - numrat, por në përgjithësi - nje funksion i barabartë me 2 * x. Në qoftë se ne kemi nevojë për të llogaritur derivatin, për shembull, në pikën x ₀ = 1, marrim y '(1) = 2 * 1 = 2. Është shumë e thjeshtë. Një rast interesant është derivat i numrit kompleks. Për të shkuar në një shpjegim të detajuar të asaj që një numër kompleks, ne nuk do. Mjafton të themi se ky numër i cili përmban të ashtuquajturën njësi imagjinare - numri sheshin e të cilit është e barabartë me -1. Llogaritja e këtij derivati është e mundur vetëm në kushtet e mëposhtme:

1) Duhet të ketë rendit të parë derivatet parciale e pjesëve reale dhe imagjinare të y dhe X.

2) kushtet e Cauchy-Riemann lidhur me barazisë pjesshëm përshkruhet në pikën e parë.

Një rast tjetër interesant, edhe pse jo aq e ndërlikuar sa ai i mëparshmi, është një derivat i një numri negativ. Në fakt, çdo numrat negative mund të përfaqësohet si një pozitiv, shumëzuar me -1. E pra, derivati dhe funksioni konstant i barabartë me një konstante shumëzuar me derivatin e funksionit.

Ajo do të jetë interesante për të mësuar në lidhje me rolin e derivateve në jetën e tyre të përditshme, dhe kjo është tani dhe për të diskutuar atë.

kërkesë

Ndoshta secili prej nesh të paktën një herë në jetë kapur veten duke menduar se matematika nuk ka gjasa të jetë e dobishme për të. Dhe një gjë e tillë e komplikuar si derivati ndoshta nuk ka asnjë përdorim. Në fakt, matematikë - shkencë themelore, dhe të gjitha frytet e saj e zhvillon kryesisht fizikë, kimi, astronomi dhe madje edhe ekonominë. Derivat shënoi fillimin e analizës matematike, i cili na dha mundësinë për të nxjerrë konkluzione nga grafikët e funksioneve, dhe ne kemi mësuar për të interpretuar ligjet e natyrës dhe kthyer ato në favor të tyre për shkak të tij.

përfundim

Sigurisht, jo të gjithë mund të jenë të dobishme për derivatin në jetën reale. Por math zhvillon logjikën që me siguri do të ketë nevojë. Jo më kot, sepse matematika është quajtur mbretëresha e shkencave: ajo përbëhet nga një kuptim bazë të fushave të tjera të dijes.