Maclaurin dhe dekompozimi i disa funksioneve

Duke studiuar matematikë të avancuar duhet të jenë të vetëdijshëm se shuma e një serie të energjisë në intervalin e konvergjencës së një numri prej nesh, është një numër të vazhdueshëm dhe të pakufizuar të kohës një funksion diferencuar. Shtrohet pyetja: a është e mundur të argumentojnë se duke pasur parasysh një funksion arbitrare f (x) - është shuma e një seri të energjisë? Kjo është, në çfarë kushtesh F-tions f (x) mund të përfaqësohet nga një seri pushtet? Rëndësia e kësaj çështjeje është se është e mundur për të zëvendësuar rreth £ Teologjike f (x) është shuma e disa termave të para të një serie të energjisë, që është një polinom. një funksion i tillë zëvendësimi është shprehje mjaft e thjeshtë - polinom - është i përshtatshëm dhe në zgjidhjen e problemeve të caktuara në analizat matematikore, përkatësisht në zgjidhjen e integrals kur llogaritet ekuacionet diferenciale , etj ...

Provohet, që për disa f-ii f (X), ku derivatet e (n + 1) për -th mund të llogaritet, duke përfshirë të fundit në afërsi të (α - R; x ₀ + R) nga një pikë x = α formula drejtë është:

Kjo formulë është emëruar pas shkencëtarit të famshëm Brooke Taylor. Një numër i cili e ka prejardhjen nga një mëparshme, është quajtur një seri Maclaurin:

Një rregull që e bën të mundur për të prodhuar zgjerimin në një seri Maclaurin:

1. Përcaktoni derivatet e parë të dytë, të tretë, ... mënyrë,.
2. Llogaritur atë janë derivatet x = 0.
3. Record seri Maclaurin për këtë funksion, dhe pastaj për të përcaktuar intervalin e konvergjencës.
4. Përcaktojë interval (R, R), ku pjesa e mbetur e formules Maclaurin

R _n (x) -> 0 për n -> infinity. Nëse dikush ekziston, ajo funksioni f (x) duhet të jetë e barabartë me shumën e seri Maclaurin.

Konsideroni tani serinë Maclaurin për funksionet individuale.

1. Në këtë mënyrë, parë për t'u f (x) = e ^x. Sigurisht, që karakteristikat e tyre aq f-Ia ka nxjerrë një shumëllojshmëri të urdhrave, dhe f ^{(K) (x)} = e ^X, ku k është e barabartë me të gjithë numrat natyrore. Zëvendësues x = 0. Marrim f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Bazuar në sa më sipër, një numër të e ^x Ajo do të jetë si më poshtë:

2. seri Maclaurin për funksionit f (x) = mëkatin x. Menjëherë përcaktojë se F-tions për të gjitha panjohura do të rrjedhin, përveç f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' (x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), ku k është e barabartë me çdo numër i plotë pozitiv. Kjo është, duke e bërë llogaritje të thjeshtë, ne mund të konkludojmë se seri për f (x) = sin x do të jetë si kjo:

3. Tani le të konsiderojmë iju f-f (x) = cos x. Ajo është e panjohur për të gjithë derivativët e rendit arbitrare, dhe ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Përsëri, ajo ka bërë disa llogaritje, ne gjejmë se seri për f (x) = cos x do të duket si ky:

Pra, ne kemi shënuar tiparet më të rëndësishme që mund të zgjerohet në një seri Maclaurin, por ato e plotësojnë seri Taylor për disa funksione. Tani ne do të listën e tyre si edhe. Ajo duhet gjithashtu të theksohet se seri Taylor dhe seri Maclaurin janë një pjesë e rëndësishme e serisë seminarit e vendimeve në matematikë të larta. Pra, seri Taylor.

1. i parë është një seri prej F-ii f (x) = ln (1 + x). Si në shembujt e mëparshëm, për këtë ne f (x) = ln (1 + x) mund të përfshihej një numër, duke përdorur formularin e përgjithshëm të serisë Maclaurin. por për këtë funksion Maclaurin mund të merret shumë më e lehtë. Integrimi një seri gjeometrik, ne marrë një numër për f (x) = ln (1 + x) e kampionit:

2. Dhe i dyti, i cili do të jetë përfundimtar në këtë artikull, do të jetë një seri për f (x) = x arctg. Për x përkasin intervalin [-1; 1] është dekompozimi i vlefshëm:

Kjo është e gjitha. Në këtë artikull unë kam anketuar serinë më të përdorur Taylor dhe seri Maclaurin në matematikë të larta, veçanërisht në kolegje ekonomike dhe teknike.