Dyfishtë integrale. Detyrat. pronat

Problemet të cilat çojnë në konceptin e "dyfishtë integrale".

1. Le materiale pjatë të sheshtë në çdo pikë e së cilës dendësia është i njohur në aeroplan përcaktuar. Ne kemi nevojë për të gjetur një shumë të këtë rekord. Që nga kjo pjatë ka dimensione të qarta, ajo mund të jetë mbyllur në një drejtkëndësh. mund të kuptohet si dendësia e pjatë është edhe ky: në ato pikat e drejtkëndësh, të cilat nuk i përkasin në pjatë, ne supozojmë se dendësia është zero. Ne të përcaktojë një thyerjen uniforme në të njëjtin numër të grimcave. Kështu, forma paracaktuar është i ndarë në rectangles elementare. Konsideroni një nga këto rectangles. Pick çdo pikë të drejtkëndësh. Në funksion të sasisë së vogël dimensionet e drejtkëndëshit do të supozohet se densiteti në çdo pikë të drejtkëndësh është konstante. Atëherë masa e një grimcave drejtkëndëshe, do të përcaktohet si shumëzimi i densitetit në këtë pikë në fushën e një drejtkëndësh. Zona është e njohur, është shumëzimi i drejtkëndësh gjatësia nga gjerësia. Dhe mbi të koordinuar aeroplan - një ndryshim me disa hapa. Atëherë masa e tërë rekord do të jetë shuma e masave të këtyre rectangles. Në qoftë se një raport i tillë të shkojnë në kufi, atëherë ju mund të merrni raportin e saktë.
2. Ne të përcaktojë një trup hapësinor i cili kufizohet nga origjina dhe një funksion. Ne kemi nevojë për të gjetur vëllimin e trupit në fjalë. Ashtu si në rastin e mëparshëm, ne ndarjen rajonin në rectangles. Ne supozojmë se në pikat të cilat nuk i përkasin fushës, funksioni do të jetë e barabartë me 0. Le të konsiderojmë një nga drejtkëndëshe thyer. Nëpër anët e një drejtkëndësh të tërhequr aeroplanët që janë pingul me akset e abshisë dhe bashkërenduar. Ne të marrë paralelopiped e cila kufizohet nga poshtë në lidhje me planin e z-aks, dhe në krye të atij funksioni që është përcaktuar në këtë problem. Zgjidhni në mes të pikës drejtkëndësh. Për shkak të madhësisë së vogël e drejtkëndësh mund të supozohet se funksioni brenda këtij drejtkëndësh ka një vlerë konstante, atëherë ju mund të llogaritur vëllimin e një drejtkëndësh. Një forma vëllimit do të jetë e barabartë me shumën e të gjitha sasive të tilla rectangles. Për të marrë një vlerë të saktë, ju duhet të shkoni në kufi.

Siç shihet nga detyrat në çdo shembull, ne konkludojmë se problemet e ndryshme të çojë në një shqyrtim të shumave të dyfishtë të të njëjtit lloj.

Prona e integrals dyfishtë.

Ne paraqesin problemin. Supozoni se në një rajon të caktuar të mbyllur është dhënë një funksion të dy variablave, me ato të dhëna nga një funksion i vazhdueshëm. Që zona kufizohet, atëherë ajo mund të vendoset në çdo drejtkëndësh që plotësisht përmban vetitë e një pikë zonë paracaktuar. Ne ndarë drejtkëndësh në pjesë të barabarta. Ne themi se diametër më të madh të thyer diagonale e rectangles që rezultojnë. tani kemi zgjedhur kufijtë e kësaj pike drejtkëndësh. Nëse ju gjeni vlera në këtë pikë është për të hedhur poshtë sasinë, atëherë kjo shumë do të quhet integrale për një funksion në një fushë të caktuar. Kufijtë e shumë të tillë integral, në kushtet që diametri i pushimit të jetë 0, dhe numri i rectangles - pafundësi. Nëse një kufi i tillë ekziston dhe nuk varet nga mënyra e thyer të zonës në rectangles dhe zgjedhjen e termave, atëherë ajo është quajtur - një të dyfishtë integrale.

Përmbajtja gjeometrike e integralit të dyfishtë: Numrat dyfishtë integrale vëllimi i barabartë i trupit, i cili është përshkruar në Problem 2.

Njohja e dyfishtë integrale (përkufizim), ju mund të vendosni vetitë e mëposhtme:

1. E vazhdueshme mund të merret jashtë shenjës integrale.
2. Shuma integrale (dallimi) është e barabartë me shumën (ndryshim) të integrals.
3. E funksioneve do të jetë më pak se kaq, integrale të dyfishtë është më pak.
4. Moduli mund të bëhet nën shenjën e dyfishtë integrale.