Çfarë është një fractal? Fraktalet në natyrë

Shpesh zbulimet e shkëlqyera të bëra në shkencë janë në gjendje të ndryshojnë rrënjësisht jetën tonë. Për shembull, shpikja e një vaksine mund të shpëtojë shumë njerëz dhe krijimi i armëve të reja çon në vrasje. Fjalë për fjalë dje (në shkallën e historisë) një person "zbut" energjinë elektrike dhe sot nuk mund ta imagjinojë jetën e tij pa të. Megjithatë, ka edhe zbulime të tilla, të cilat, ata thonë, mbeten në hije, dhe pavarësisht faktit se ata gjithashtu kanë një ndikim në jetën tonë. Një nga zbulimet e tilla ishte një fractal. Shumica e njerëzve as nuk kanë dëgjuar për këtë koncept dhe nuk do të jenë në gjendje të shpjegojnë kuptimin e saj. Në këtë artikull ne do të përpiqemi të kuptojmë pyetjen se çfarë është një fraktal, e konsiderojnë kuptimin e këtij termi nga pozicioni i shkencës dhe natyrës.

Renditja në Chaos

Për të kuptuar se çfarë është një fraktal, duhet të fillojmë analizën e fluturimeve nga pozicioni i matematikës, por para se të shkojmë në shkencat e sakta, jemi pak filozofik. Çdo person ka një kuriozitet natyror, përmes të cilit ai e njeh botën rreth tij. Shpesh në kërkimin e tij për njohuri, ai përpiqet të veprojë me logjikë në gjykimet e tij. Pra, duke analizuar proceset që ndodhin rreth, ai përpiqet të llogarisë marrëdhëniet dhe të nxjerrë rregullitete të caktuara. Mendjet më të mëdha të planetit janë të angazhuara në zgjidhjen e këtyre problemeve. Thjesht folur, shkencëtarët tanë janë duke kërkuar për modelet ku ata nuk ekzistojnë, dhe nuk duhet të jetë. Dhe akoma, madje edhe në kaos, ekziston një lidhje mes këtyre ose atyre ngjarjeve. Kjo është lidhja që është fractal. Për shembull, merrni parasysh një degë të thyer që shtrihet në rrugë. Nëse ju shikoni nga afër atë, ne do të shohim se ajo është si një pemë me të gjitha degët dhe nyjet e saj. Këtu kjo ngjashmëri e një pjese të veçantë me një tërësi të vetme dëshmon për të ashtuquajturin parim të vetë-ngjashmërisë rekurzive. Fraktalet në natyrë mund të gjenden shumë shpesh, sepse shumë forma inorganike dhe organike formohen në mënyrë të ngjashme. Kjo është re, dhe predha e detit, dhe predha e kërmijve, dhe kurora e pemëve, madje edhe sistemi i qarkullimit të gjakut. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto forma të rastit përshkruajnë lehtësisht një algoritëm fractal. Këtu kemi ardhur për të shqyrtuar se çfarë është një fractal nga pozita e shkencave të sakta.

Disa fakte të thata

Fjala "fractal" në latinisht është përkthyer si "e pjesshme", "e ndarë", "e fragmentuar", dhe sa i përket përmbajtjes së këtij termi, nuk ka formulim si të tillë. Zakonisht ajo trajtohet si një grup i vetë-ngjashëm, pjesë e të gjithë, e cila përsëritet nga struktura e tij në nivelin mikro. Ky term u zbulua në vitet shtatëdhjetë të shekullit të njëzetë nga Benoit Mandelbrot, i cili njihet si babai i gjeometrisë fractal. Sot, koncepti i një fractal nënkupton një paraqitje grafike të një strukture që, si një shkallë e zgjeruar, do të jetë e ngjashme me veten. Megjithatë, baza matematikore për krijimin e kësaj teorie u vendos edhe para lindjes së vetë Mandelbrotit, por nuk mund të zhvillohej derisa të shfaqeshin kompjuterët elektronikë.

Referenca historike, ose Si filloi të gjitha

Në kthesën e shekullit 19 dhe 20, studimi i natyrës së fraktale ishte episodik. Kjo është për shkak të faktit se matematikanët preferojnë të studiojnë objekte që mund të studiohen në bazë të teorive dhe metodave të përgjithshme. Në 1872, matematikani gjerman K. Weierstrass ndërtoi një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk mund të dallonte askund. Megjithatë, kjo ndërtim doli të jetë tërësisht abstrakte dhe e vështirë për t'u kuptuar. Tjetra erdhi Suedez Helge von Koch, i cili në vitin 1904 ndërtoi një kurbë të vazhdueshme, e cila askund nuk ka një tangjent. Është mjaft e lehtë për t'u nxjerrë, dhe siç doli, ajo karakterizohet nga vetitë e fractal. Një nga variantet e kësaj kurbe u emërua në nder të autorit të saj - "Koch fjollë". Më tej, ideja e vetë-ngjashmërisë së figurave u zhvillua nga instruktori i ardhshëm i B. Mandelbrot, francez Paul Levy. Në 1938 ai botoi një artikull "kthesa Flat dhe hapësinore dhe sipërfaqet e përbërë nga pjesë si e tërë." Në të ai përshkroi një specie të re - kurbë C-Levy. Të gjitha shifrat e mësipërme lidhen ngushtë me formën, si fraktale gjeometrike.

Fractals dinamike, ose algjebrike

Kjo klasë përfshin grupin Mandelbrot. Studiuesit e parë të këtij drejtimi ishin matematikanët francezë Pierre Fatou dhe Gaston Julia. Në vitin 1918, Julia botoi një vepër të bazuar në studimin e iteracioneve të funksioneve komplekse racionale. Këtu ai përshkroi një familje të fraktale që janë të lidhura ngushtë me grupin Mandelbrot. Përkundër faktit se kjo vepër lavdëroi autorin midis matematikanëve, ajo u harrua shpejt. Dhe vetëm gjysmë shekulli më vonë, falë kompjuterave, puna e Julia mori një jetë të dytë. Kompjuterët lejohen t'i bëjnë të dukshme secilit person se bukuria dhe pasuria e botës së fraktale që mund të "shohin" matematikanët, duke i shfaqur ato përmes funksioneve. Mandelbrot ishte i pari që përdorte një kompjuter për të kryer llogaritjet (një vëllim i tillë nuk mund të bëhet manualisht), gjë që lejoi të ndërtonte një imazh të këtyre shifrave.

Një burrë me imagjinatë hapësinore

Mandelbrot filloi karrierën e tij shkencore në qendrën kërkimore të IBM-së. Duke studiuar mundësitë e transmetimit të të dhënave në distanca të gjata, shkencëtarët u përballën me faktin e humbjeve të mëdha që u ngritën për shkak të ndërhyrjeve të zhurmave. Benoit po kërkonte mënyra për të zgjidhur këtë problem. Duke parë rezultatet e matjeve, ai tërhoqi vëmendjen në një model të çuditshëm, pra: grafikët e zhurmës dukeshin të njëjta në shkallë të ndryshme kohore. Një pamje e ngjashme u vërejt si për një periudhë prej një dite, dhe për shtatë ditë ose për një orë. Shpesh Benois Mandelbrot tha se nuk punon me formula, por luan me fotografi. Ky shkencëtar ndryshonte në të menduarit figurativ, ai përktheu çdo problem algjebrik në një fushë gjeometrike, ku përgjigja e saktë është e dukshme. Pra, nuk është për t'u habitur që një person i tillë, i cili është i pasur në të menduarit hapësinor, u bë ati i gjeometrisë fractale. Në fund të fundit, vetëdija për këtë shifër mund të vijë vetëm kur studioni vizatimet dhe meditoni për kuptimin e këtyre kthesave të çuditshme që formojnë modelin. Modelet e fractal nuk kanë elementë identikë, por ato kanë një ngjashmëri në çdo shkallë.

Julia - Mandelbrot

Një nga vizatimet e para të kësaj figure ishte interpretimi grafik i grupit, i cili u lind në sajë të veprave të Gaston Julia dhe u modifikua nga Mandelbrot. Gaston u përpoq të imagjinonte se si duket seti, i ndërtuar mbi bazën e një formule të thjeshtë, e cila humbet nga lakimi i reagimeve. Le të përpiqemi të shpjegojmë atë që është thënë me gjuhën e njeriut, për të thënë kështu, në gishtat tuaj. Për një vlerë të caktuar numerike, ne përdorim formulën për të gjetur një vlerë të re. Ne e zëvendësojmë atë në formulën dhe gjejmë sa më poshtë. Rezultati është një sekuencë e madhe numerike. Për të përfaqësuar një grup të tillë, kërkohet të bëjë këtë operacion një numër të madh kohe: qindra, mijëra, miliona. Kjo është ajo që bëri Benoit. Ai përpunoi sekuencën dhe i transferoi rezultatet në një formë grafike. Më pas, ai pikturoi figurën që rezulton (secili ngjyrë korrespondon me një numër të caktuar përsëritjeje). Kjo imazh grafik u emërua "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: arti i krijuar nga natyra

Teoria e fractals shpejt gjetur aplikimin praktik. Meqë është shumë e lidhur ngushtë me vizualizimin e imazheve të ngjashme, të parët për të adoptuar parimet dhe algoritmet për ndërtimin e këtyre formave të pazakonta janë artistët. E para prej tyre ishte themeluesi i ardhshëm i studios së Pixarit Lauren Carpenter. Duke punuar për paraqitjen e prototipave të avionëve, ai i ndodhi atij që të përdorte imazhin e maleve si një sfond. Sot, pothuajse çdo përdorues kompjuteri mund të merret me këtë detyrë dhe në vitet shtatëdhjetë të shekullit të kaluar kompjutera nuk mund të kryejë procese të tilla, sepse nuk kishte redaktorë grafikë dhe aplikacione për grafikë 3D në atë kohë. Dhe kështu Loren kapi librin e Mandelbrotit "Fraktalet: Forma, Aksidenti dhe Dimensioni". Në të, Benoit dha shumë shembuj, duke treguar se ka fraktale në natyrë (fyva), ai përshkroi formën e tyre të ndryshme dhe argumentoi se ato përshkruhen lehtësisht nga shprehjet matematikore. Matematiku e përmendi këtë analogji si një argument për dobinë e teorisë që ai zhvilloi në përgjigje të një stuhie kritikash nga kolegët e tij. Ata argumentuan se fractal - kjo është vetëm një pamje e bukur, e cila nuk ka vlerë, e cila është një nënprodukt i punës së makinave elektronike. Zdrukthëtar vendosi të provojë këtë metodë në praktikë. Pas studimit të librit me kujdes, animatori i ardhshëm filloi të kërkonte një mënyrë për të zbatuar gjeometrinë fractal në grafikë kompjuterike. U deshën vetëm tre ditë për të përfytyruar një imazh shumë realist të peizazhit malor në kompjuterin e tij. Dhe sot ky parim është përdorur gjerësisht. Siç doli, krijimi i fraktaleve nuk merr shumë kohë dhe përpjekje.

Zgjidhja e zdrukthëtarit

Parimi i përdorur nga Lauren ishte i thjeshtë. Ai konsiston në ndarjen e shifrave më të mëdha gjeometrike në elemente më të vogla, dhe ato në ato më të vogla të të njëjtës madhësi, e kështu me radhë. Zdrukthëtar, duke përdorur trekëndëshat e mëdha, i shtypi ato në 4 të vogla, dhe kështu me radhë, derisa ai mori një peizazh të vërtetë malor. Kështu, ai u bë artisti i parë i cili aplikoi algoritmin fractal në grafikë kompjuterike për të ndërtuar imazhin e kërkuar. Sot, ky parim përdoret për të simuluar forma të ndryshme realiste natyrore.

3D vizualizimi i parë në një algoritëm fractal

Disa vjet më vonë, Lauren e përdori punën e tij në një projekt në shkallë të gjerë - klipin e animacionit Vol Libre, treguar në Siggraph në vitin 1980. Kjo video tronditi shumë, dhe krijuesi i saj u ftua për të punuar në Lucasfilm. Këtu animatori ishte në gjendje të kuptojë në masë të plotë, ai krijoi peisazhe tridimensionale (të gjithë planetin) për filmin me gjatësi të plotë "Star Trek". Çdo program modern ("Fractals") ose një aplikacion për krijimin e grafikut tre-dimensional (Terragen, Vue, Bryce) përdor të njëjtin algoritëm për modelimin e teksteve dhe sipërfaqeve.

Tom Beddard

Në të kaluarën, një fizikant lazer, tani një mjeshtër dixhital dhe artist, Beddard krijoi një sërë figurash gjeografike shumë intriguese, të cilat ai e quajti fraktalizat Faberge. Jashtë, ata i ngjajnë vezëve dekorative të një argjendar ruse, me të njëjtin model brilant të ndërlikuar. Beddard përdor një metodë template për të krijuar vizualizimet e tij dixhitale të modeleve. Produktet e marra me habi me bukurinë. Edhe pse shumë nuk pranojnë të krahasojnë produktin me dorë me një program kompjuterik, duhet të kuptohet se format e fituara janë jashtëzakonisht të bukura. Një theksim është se çdokush mund të ndërtojë një fractal të tillë duke përdorur bibliotekën softuerike WebGL. Kjo ju lejon të eksploroni në kohë reale struktura të ndryshme fractal.

Fraktalet në natyrë

Pak njerëz i kushtojnë vëmendje, por këto shifra mahnitëse janë kudo. Natyra është krijuar nga figura të vetë-të ngjashme, ne thjesht nuk e vëmë re atë. Mjafton të shohim përmes një xham zmadhues në lëkurën tonë ose një gjethe të pemës dhe do të shohim fraktale. Ose të marrë, për shembull, një pineapple ose edhe një bisht pallua - ata përbëhen nga shifra të ngjashme. Një varietet brokoli brokoli Romanesku përgjithësisht mahnit pamjen e saj, sepse me të vërtetë mund të quhet një mrekulli e natyrës.

Pauzë muzikore

Rezulton se fractals nuk janë vetëm shifra gjeometrike, ato mund të jenë tinguj. Pra, muzikanti Jonathan Colton shkruan muzikë duke përdorur algoritme fractal. Ai pohon se një melodi e tillë korrespondon me harmoni natyrore. Kompozitori publikon të gjitha veprat e tij nën licencën CreativeCommons Attribution-Noncommercial, e cila siguron shpërndarjen falas, kopjimin, transferimin e punimeve nga persona të tjerë.

Treguesi fractal

Kjo teknikë ka gjetur një aplikim shumë të papritur. Në bazë të saj, është krijuar një mjet për analizimin e tregut të bursës dhe si rezultat, është përdorur në tregun Forex. Tani treguesi-fractal është në të gjitha platformat tregtare dhe përdoret në pajisjet tregtare, që quhet një ndërprerje çmimesh. Zhvilloi këtë teknikë Bill Williams. Si autori komenton mbi shpikjen e tij, ky algoritëm është një kombinim i disa "qirinjve", në të cilin qendra reflekton maksimumin ose, anasjelltas, pikën minimale ekstreme.

Në përfundim

Pra, pamë se çfarë është një frakturë. Rezulton se në kaosin që na rrethon, në fakt, ka forma ideale. Natyra është arkitekti më i mirë, ndërtuesi dhe inxhinieri ideal. Është rregulluar shumë logjikisht, dhe nëse nuk mund ta gjejmë ligjin, kjo nuk do të thotë se nuk ekziston. Ndoshta ju duhet të kërkoni atë në një shkallë të ndryshme. Mund të themi me besim se fraktale ruajnë shumë më tepër sekrete që ne nuk kemi ende për të zbuluar.