Rrënjët e një ekuacion kuadratik: kuptimi algjebrike dhe gjeometrike

Në sheshin algjebër është quajtur një ekuacion të dytë rendit. Nga ekuacioni nënkuptojnë një shprehje matematikore, e cila ka në përbërjen e saj të një ose më shumë të panjohura. Dytë mënyrë ekuacion - një ekuacion matematikor që ka të paktën një të panjohur në gradë katrore. Kuadratik Ekuacioni - dytë mënyrë ekuacion tregohet identiteti të thotë barabartë me zero. Zgjidhur sheshin ekuacion është i njëjti që përcaktojnë rrënjët katrore e ekuacionit. ekuacionit tipik kuadratike në formë të përgjithshme:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

ku W, T - koeficienti e rrenjet e ekuacionit katror;

O - koeficienti i lirë;

c - rrënjës i katror ekuacionit (gjithnjë ka dy vlerat C1 dhe C2).

Siç është përmendur tashmë, problemi i zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik - të gjetur rrënjët e një ekuacion kuadratik. Për të gjetur ata, ju keni nevojë për të gjetur një discriminant:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Formulat discriminant e nevojshme për gjetjen e zgjidhjeve C1 dhe C2 rrënjë:

c1 = (-T + √N) / 2 * W dhe c2 = (-T - √N) / 2 * W

Nëse ekuacion kuadratik i përgjithshëm faktor formë në rrënjë e T ka një vlerë të shumëfishtë, ekuacioni është zëvendësuar nga:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Dhe rrënjët e saj duket si shprehjen:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W dhe c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Shpesh ekuacion mund të ketë një pamje pak më të ndryshme, kur C_2 mund të ketë asnjë W. koeficienti në këtë rast, ekuacioni i mësipërm ka formën:

c ^ 2 + F * c + L = 0

ku F - faktor në rrënjë;

L - Faktori i lirë;

c - rrënjës e sheshit (gjithnjë ka dy vlerat C1 dhe C2).

Ky lloj i ekuacionit është quajtur një ekuacion kuadratik dhënë. Emri "reduktuar" shkoi nga formula actuation ekuacioni kuadratik tipike, nëse koeficienti i rrënjës W ka një vlerë prej një. Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit kuadratik:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] dhe c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Në rastin e madje edhe vlerave të koeficientit të rrënjëve rrënjë F do të ketë një zgjidhje:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L),

Nëse ne flasim për ekuacionet kuadrate, është e nevojshme të kujtojmë teorema e vieta. Ajo thotë se ligjet në vijim për të ekuacionit kuadratik reduktuar:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F dhe c1 * c2 = L

Në ekuacionin e përgjithshëm kuadratik rrënjët kuadratik ekuacionit janë varësi të lidhura:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W dhe c1 * c2 = O / W

Tani e konsiderojnë opsionet e ekuacioneve kuadrate dhe zgjidhjet e tyre. Të gjithë prej tyre mund të jenë të dy, si në qoftë se një anëtar i c_2 është zhdukur, atëherë ekuacioni nuk do të jetë katror. për këtë arsye:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 të ekuacionit mishërim katror pa faktorit të lirë (anëtar).

Zgjidhje është:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 të ekuacionit mishërim katror pa afatit të dytë, kur i njëjti modulo rrenjet e ekuacionit katror.

Zgjidhje është:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (O / W), c2 = - √ (O / W),

E gjithë kjo ishte algjebër. Konsideroni kuptimin gjeometrik e cila ka një ekuacion kuadratik. ekuacioni i dytë rendit në gjeometria është përshkruar nga një funksion parabolë. mjaft shpesh është detyrë për të gjetur rrënjët e një ekuacion kuadratik për nxënësit e shkollave të mesme? Këto rrënjët japin konceptin e se si të ndërpritet funksionin grafik (parabolë) me koordinativ aksin - horizontale. Në qoftë se, pasi vendosi ekuacionin kuadratik, ne kemi marrë vendimin irracionale e rrënjëve, atëherë kryqëzimin nuk do të. Nëse root ka një vlerë fizike, funksioni kalon boshtin x në një vend. Në qoftë se të dy rrënjët, atëherë, respektivisht, - dy pikat e kryqëzimit.

Vlen të përmendet se në rrënjët irracionale nënkuptojnë një vlerë negative nën rrënjë, në gjetjen rrënjë. Vlera fizike - çdo vlerë pozitive ose negative. Në rastin e gjetjes së vetëm një rrënjë të thotë se rrënjët e njëjtë. Orientimi i kurbë në një sistem Kartezian koordinuar gjithashtu mund të para-përcaktuar nga koeficientët e rrënjëve W dhe T. Nëse W ka një vlerë pozitive, të dy degët e parabolë janë të drejtuara lart. Nëse W ka një vlerë negative, - poshtë. Gjithashtu, nëse koeficient B ka një shenjë pozitive, ku W eshte gjithashtu pozitive, kulm i funksionit parabolë është brenda "y" nga "-" të pafundësi "+" infinity, "c" në rangun e minus pafundësi me zero. Nëse T - vlera pozitive, dhe W - është negative, në anën tjetër të abshisë.