Progresion gjeometrik. SHEMBULL vendimit

Konsideroni një rresht.

7 28 112 448 1792 ...

tregon mjaft qartë se vlera e ndonjë prej elementeve të saj më shumë se e kaluara pikërisht katër herë. Pra, kjo seri është një progresion.

përparimi gjeometrike quajtur sekuencë pafund të numrave, tipar kryesor i të cilave është që numri i mëposhtëm është marrë nga lart duke shumëzuar me një numër të caktuar. Kjo është e shprehur me formulën e mëposhtme.

_{a z +1 = nje z · q} , ku z - numër i elementit të përzgjedhur.

Në përputhje me rrethanat, z ∈ N.

Një kohë kur shkolla është studiuar gjeometrike progresion - klasën e 9-të. Shembujt do të ndihmojë të kuptojnë konceptin:

0.25 0.125 0.0625 ...

Shkurt 18 6 ...

Bazuar në këtë formulë, përparimi i emërues mund të gjenden si në vijim:

As q, ose b _z nuk mund të jetë zero. Gjithashtu, secili nga elementet e një seri të numrave progresit nuk duhet të jetë zero.

Në përputhje me rrethanat, për të parë numrin e ardhshëm të një numri, shumohen e fundit nga q.

Për të përcaktuar këtë progresion, ju duhet të specifikoni elementin e parë të saj dhe emërues. Pasi që ajo është e mundur për të gjetur ndonjë nga anëtarët e mëposhtëm dhe vlerën e tyre.

lloj

Në varësi të q dhe një _1, kjo progresion është e ndarë në disa lloje:

• Nëse një _1, dhe q është më e madhe se një, më pas një sekuencë - në rritje me çdo element të njëpasnjëshme të një progresionit gjeometrik. Shembujt e saj janë të detajuara më poshtë.

Shembull: a ₁ = 3, q = 2 - madh se unitet, dy parametrat.

Pastaj një sekuencë të numrave mund të shkruhet si:

3 6 12 24 48 ...

• Nëse | q | më pak se një, dmth, ajo është e barabartë me shumëzimin nga ndarja, progresion me kushte të ngjashme - në rënie progresion gjeometrik. Shembujt e saj janë të detajuara më poshtë.

Shembull: a ₁ = 6, q = 1/3 - a ₁ është më e madhe se një, q - më pak.

Pastaj një sekuencë të numrave mund të shkruhet si më poshtë:

2 qershor 2/3 ... - Elementet ndonjë element më shumë në vijim atë, është 3 herë.

• Alternuara. Nëse q <0, shenjat e numrave të rotacion rend vazhdimisht, pavarësisht nga një _1, dhe elementet e çdo rritje apo ulje.

Shembull: a ₁ = -3, q = -2 - janë të dyja të më pak se zero.

Pastaj një sekuencë të numrave mund të shkruhet si:

3, 6, -12, 24, ...

formulë

Për përdorim të përshtatshëm, ka shumë progressions gjeometrike të formulave:

• Formula z-th afat. Kjo i lejon llogaritjen e elementit në një numër të caktuar, pa llogaritur numrat e mëparshme.

Shembull: q = 3, a = ₁ 4. nevojshme për të llogaritur një progresin e katërt element.

Solucion: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Shuma e elementeve të para, numri i të cilëve është e barabartë me z. Kjo i lejon llogaritjen e shumës së të gjitha elementeve në një sekuencë të një përfshirëse _z.

≠ 0, në këtë mënyrë, q është 1 - (q 1) Meqë (1- q) është në emërues, atëherë.

Shënim: në qoftë se q = 1, atëherë përparimi do të kishte përfaqësuar një numër të pafund të përsëritur numrin.

Shuma eksponenciale shembuj: a ₁ = 2, q = -2. Llogaritur S _5.

Solucion: S ₅ = 22 - formula llogaritjen.

• Shuma nëse | q | <1 dhe kur z tenton të pafundësi.

Shembull: a ₁ = _2, q = 0.5. Gjej shumën.

Solucion: S _z = 2 x = 4

Nëse ne llogarisim shumën e disa anëtarëve të manualit, ju do të shihni se ajo është me të vërtetë e angazhuar për katër.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0,25 + 0125 + 0.0625 = 3,9375 4

Disa veti:

• Një pronë karakteristike. Nëse gjendja në vijim Ajo mban për çdo z, atëherë jepet një seri numerike - një progresion gjeometrik:

a _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Kjo është edhe sheshi i çdo numër është në mënyrë eksponenciale me anë të kësaj e sheshet e dy numrave të tjerë në çdo rresht të caktuar, në qoftë se ata janë të baraslarguar nga elementi.

² a _z = a _{z - t} ² ₊ a + _{z t} ^2, ku t - distanca në mes të këtyre numrave.

• Elementet ndryshojnë nga herë q.
• Logarithms e elementeve të progresion si dhe formojnë një progresion, por aritmetikë, që është, secili prej tyre më shumë se ai i mëparshmi me një numër të caktuar.

Shembuj të disa problemeve të klasike

Për të kuptuar më mirë se çfarë është një progresion gjeometrik, me shembujt vendim për klasën e 9 mund të ndihmojë.

• Termat dhe kushtet e: a ₁ = 3, një ₃ = 48. Find q.

Solucion: çdo element të njëpasnjëshme në më shumë se q mëparshëm kohë. Është e nevojshme për të shprehur disa elemente përmes tjetrin nëpërmjet emërues.

Rrjedhimisht, një ₃ = q ² · a ₁

Kur zëvendësuar q = 4

• Kushtet: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Calculate S _6.

Zgjidhja: Për ta bërë këtë, mjafton të gjetur Q, elementin e parë dhe zëvendësim në formulë.

a ₃ = q · një _2, si pasojë, q = 2

a = ₂ q · A _1, kështu a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Gjej elementin e katërt të progresion.

Zgjidhja: ajo është e mjaftueshme për të shprehur elementin e katërt me të parë dhe me emërues.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Shembulli i aplikimit:

• klienti Bank ka kontribuar shumën prej 10.000 rubla, sipas të cilit çdo vit klienti për shumën e principalit do të shtohet 6% e saj pse. Sa para është në llogari pas 4 vjetësh?

Zgjidhja: Shuma fillestare e barabartë me 10 mijë rubla. Pra, një vit pas investimeve në llogarinë do të jetë në shumën e barabartë me 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06

Prandaj, shuma në llogari edhe pas një viti do të shprehet si më poshtë:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1.06 · 10000

Kjo është, çdo vit shuma u rrit në 1.06 herë. Për këtë arsye, për të gjetur numrin e llogarisë pas 4 vjetësh, mjafton për të gjetur një progresion katërt element, i cili është dhënë elementin e parë të barabartë me 10 mijë, dhe emërues të barabartë me 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Shembuj të problemeve në llogaritjen e shumës së:

Në probleme të ndryshme duke përdorur progresion gjeometrik. Një shembull për të gjetur shumën mund të përcaktohen si më poshtë:

a ₁ = 4, q = 2, të llogaritur S _5.

Zgjidhja: të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen janë të njohura, thjesht të zëvendësojë ato në formulën.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = _3. 18. Calculate shuma e gjashtë elemente të para.

zgjidhje:

Geom. progresi i secilit element të ardhshme më të mëdha se kohët e mëparshme q, që është, për të llogaritur shumën që ju duhet të dini elementin një ₁ dhe emërues q.

a ₂ · q = një ₃

q = 3

Në mënyrë të ngjashme, nevoja për të gjetur një _{A1, A2} dhe duke ditur q.

a ₁ · q = a ₂

a = 2 ₁

Dhe pastaj mjafton të zëvendësojë të dhënat e njohura në shumën e formulës.

S ₆ = 728.