Dallimet - çfarë është kjo? Si për të gjetur diferencialin e funksionit?

Së bashku me derivatet funksionet e tyre dallimet - IT disa nga konceptet themelore të njehsim diferencial, pjesën kryesore të analizës matematike. Si e lidhur pazgjidhshmërisht, dy prej tyre disa shekuj përdorur gjerësisht në zgjidhjen e pothuajse të gjitha problemet që u ngrit në rrjedhën e veprimtarisë shkencore dhe teknike.

Shfaqja e konceptit të diferencial

Për herë të parë e bëri të qartë se një diferencial të tillë, një nga themeluesit (së bashku me Isaakom Nyutonom) njehsim diferencial matematikan i njohur gjerman Gotfrid Vilgelm Leybnits. Para se Matematikanë shekullin e 17. përdoret ide shumë e paqartë dhe të paqartë të disa "të pandarë" pambarimisht e vogël e çdo funksioni të njohur, që përfaqëson një vlerë shumë të vogël konstante, por jo të barabartë me zero, nën të cilën vlerave funksioni nuk mund të jetë thjesht. Për këtë arsye ajo ishte vetëm një hap për futjen e nocionet e increments pambarimisht e vogël e argumenteve funksionit dhe increments e tyre përkatëse të funksioneve që mund të shprehet në termat e derivateve të këtij të fundit. Dhe ky hap është marrë pothuajse në të njëjtën kohë e mësipërme dy shkencëtarët të mëdha.

Bazuar në nevojën për të adresuar urgjente mekanikë probleme praktike që përballen shkencës me shpejtësi zhvillimin e industrisë dhe teknologjisë, Newton dhe Leibniz krijuar mënyrat e zakonshme për të gjetur funksionet e normës së ndryshimit (sidomos në lidhje me shpejtësinë mekanike të trupit të njohur trajektore), e cila çoi në futjen e koncepteve të tilla, si funksion derivativ dhe diferencial, dhe gjithashtu ka gjetur zgjidhjet e problemit algorithm inversi si të njohur në vetvete (variable) shpejtësi përshkuar për të gjetur rrugën që ka çuar në konceptin e integrale Ala.

Në veprat e idesë Leibniz dhe Njutonit parë dukej se dallime - është proporcionale me rritje prej argumenteve themelore Δh increments funksione Δu që mund të zbatohen me sukses për të llogaritur vlerën e këtij të fundit. Me fjalë të tjera, ata kanë zbuluar se një funksion rritje mund të jetë në çdo moment (brenda domenin e saj të definicionit) shprehet me anë të saj derivativ dy Δu = y '(x) Δh + αΔh ku α Δh - e mbetur, duke u kujdesur për zero si Δh → 0, shumë më shpejt se të Δh aktuale.

Sipas themeluesit e analizës matematikore, e dallimet - kjo është pikërisht termi i parë në increments e ndonjë funksion. Edhe pa pasur nevojë të një percaktuara qarte sekuenca limiti concept kuptohen intuitively se vlera diferenciale e derivatit synon të funksionuar kur Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Ndryshe Newton, i cili ishte kryesisht një fizikant dhe aparat matematikore konsiderohet si një mjet ndihmës për studimin e problemeve fizike, Leibniz kushtuar më shumë vëmendje për këtë toolkit, duke përfshirë një sistem të simboleve vizuale dhe të kuptueshme vlerat matematikore. Ishte ai që propozoi simbol standarde e dallime funksionit DY = y '(x) dx, DX, dhe derivati i funksionit argumentit si marrëdhënie y tyre' (x) = dy / DX.

Përkufizimi modern

Cila është diferenca në drejtim të matematikës moderne? Ajo është e lidhur ngushtë me konceptin e një rritje të ndryshueshme. Nëse ndryshorja y merr një vlerë të parë të y y = _1, atëherë y = y _2, y dallimi ₂ ─ y ₁ quhet y vlera rritje. Rritja mund të jetë pozitiv. negative dhe zero. Fjala "rritje" është përcaktuar Δ, Δu regjistrimi (lexo 'delta y') nënkupton vlerën e y rritje. kështu Δu = y ₂ ─ y _1.

Nëse vlera Δu funksion arbitrar y = f (x) mund të përfaqësohet si Δu = a Δh + α, ku A është jo varësia Δh, t. E. A = const për të dhënë x, dhe α termi kur Δh → 0 synon të ajo është edhe më shpejt se Δh aktual, atëherë së pari ( "mjeshtër") një afat proporcional Δh, dhe është për y = f (x) diferencial, shënohet DY ose DF (x) (lexuar "y de", "de eff nga X"). Prandaj diferencialet - një linear "kryesor" në lidhje me komponentët e increments funksioneve Δh.

shpjegimi mekanike

Le s = f (t) - distancën në një vijë të drejtë lëviz pikë materiale nga pozita fillestare (t - kohë të udhëtimit). Rritja Δs - është mënyra pika gjatë një intervali kohor Δt, dhe ds diferenciale = f '(t) Δt - kjo rrugë, të cilën pikë do të mbahen për të njëjtën kohë Δt, në qoftë se ajo mbajti shpejtësi f' (t), arriti në kohën t . Kur një pambarimisht Δt ds rrugë imagjinare dallon nga Δs aktuale infinitesimally pasur një rend më të lartë në lidhje me Δt. Në qoftë se shpejtësia në kohën t nuk është e barabartë me zero, DS vlera e përafërt jep pikë të vogël paragjykim.

interpretimi gjeometrik

Le vija L është grafik i y = f (x). Pastaj Δ x = MQ, Δu = QM "(shih. Figura më poshtë). Tangjent MN thyen Δu prerë në dy pjesë, qn dhe NM '. Parë dhe të Δh është proporcional QN = MQ ∙ TG (kënd QMN) = Δh f '(x), t. E QN është diferencial për dy.

Pjesa e dytë e diferencës Δu NM'daet ─ DY, kur Δh gjatësi → 0 NM 'zvogëlon edhe më shpejt sesa rritjes së argumentit, dmth ajo ka rendin e vogëlsinë më të lartë se Δh. Në këtë rast, nëse F '(x) ≠ 0 (tangente jo-paralel dem) segmentet QM'i QN ekuivalente; me fjalë të tjera NM 'zvogëlohet me shpejtësi (rendi i vogëlsinë e lartë e saj) se rritja totale Δu = QM ". Kjo është e dukshme në figurën (afrohet segment M'k M NM'sostavlyaet të gjitha më e vogël përqindja QM 'segment).

Pra, grafikisht diferenciale funksion arbitrare është e barabartë me rritjes së bashkërenduar të tangjent.

Derivati dhe diferencial

Një faktor në një periudhë të parë të funksionit shprehje shtim është e barabartë me vlerën e f saj derivat '(x). Në këtë mënyrë, duke ndjekur lidhja - Dy = f '(x) Δh ose DF (x) = f' (x) Δh.

Është e njohur se rritja e argumentit të pavarur është e barabartë me diferencial saj Δh = DX. Prandaj, ne mund të shkruani: F '(x) dx = DY.

Gjetja (nganjëherë e thënë të jetë "Vendimi") diferencat është kryer nga të njëjtat rregulla si për derivate. Një listë prej tyre është dhënë më poshtë.

Ajo që është më universale: shtimi i argumentit ose diferenciale e saj

Këtu është e nevojshme për të bërë disa sqarime. Përfaqësimi vlerë f '(x) diferencial Δh mundur kur merret parasysh x si një argumentit. Por funksioni mund të jetë një kompleks, në të cilën x mund të jetë një funksion i t argumentit. Atëherë përfaqësimi i shprehjes diferenciale e F '(x) Δh, si rregull, është e pamundur; me përjashtim të rastit të varësisë lineare x = në + b.

Për të formulës f '(x) dx = DY, pastaj në rast të argumentit pavarur x (pastaj dx = Δh) në rastin e varësisë parametra të x t, është diferencial.

Për shembull, shprehja 2 x Δh është për y = x ² diferenciale e saj kur x është një argumenti. Ne tani x = t ² dhe të marrë argumentin t. Atëherë y = x ² = t ^4.

Kjo është ndjekur nga (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Këtej Δh = 2tΔt + Δt ^2. Këtej 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Kjo shprehje nuk është proporcionale me Δt, dhe për këtë arsye tani është 2xΔh nuk është diferenciale. Ajo mund të gjendet nga ekuacioni y = x ² = t ^4. Është DY barabartë = 4t ³ Δt.

Nëse e marrim 2xdx shprehjes, ajo është y = x ² diferencial për çdo t argument. Vërtetë, kur x = t ² marrë dx = 2tΔt.

Kështu 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. E. diferencat shprehja regjistruar nga dy variableve ndryshme përputhen.

Zëvendësimi increments diferencialet

Nëse f '(x) ≠ 0, atëherë Δu dhe DY ekuivalent (kur Δh → 0); nëse f '(x) = 0 (kuptimin dhe DY = 0), ata nuk janë ekuivalente.

Për shembull, nëse y = x ^2, atëherë Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² dhe DY = 2xΔh. Nëse x = 3, atëherë ne kemi Δu = 6Δh + Δh ² dhe DY = 6Δh që janë ekuivalente për shkak Δh ² → 0, kur x = 0 Vlera Δu = Δh ² dhe DY = 0 nuk janë ekuivalente.

Ky fakt, së bashku me strukturën e thjeshtë të diferencial (m. E. Lineariteti në lidhje me Δh), është përdorur shpesh në llogaritje të përafërt, me supozimin se Δu ≈ DY për Δh vogël. Gjej funksioni diferencial është zakonisht më e lehtë se sa për të llogaritur vlerën e saktë të rritjes.

Për shembull, ne kemi kubike metalike me buzë x = 10.00 cm. Me ngrohje buzë zgjatet në Δh = 0.001 cm. Si rritjen e vëllimit kubike V? Ne kemi V = x ^2, në mënyrë që DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ shkurt ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Rritur ΔV ekuivalent diferencial DV, në mënyrë që ΔV = 3 ^cm3. Llogaritja e plotë do të japë ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ mars = 3.003001. Por rezultati i të gjitha shifrave përveç i pari i pabesueshëm; Prandaj, ajo është ende e nevojshme për të mbledhur deri në 3 cm ^3.

Natyrisht, kjo qasje është e dobishme vetëm nëse është e mundur për të vlerësuar vlerën imparted me gabim.

Funksioni diferenciale: Shembuj

Le të përpiqen për të gjetur diferencialin e funksionit y = x ^3, duke gjetur derivatin. Le të japin argumentin rritje Δu dhe të përcaktojë.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Këtu, koeficienti A = 3x ² nuk varet Δh, kështu që termi i parë është proporcionale Δh, anëtari tjetër 3xΔh Δh ² + ³ kur Δh → 0 zvogëlohet më shpejt se rritjes e argumentit. Si pasojë, një anëtar i 3x ² Δh është diferenciale e y = x ^3:

DY = 3x ² Δh = 3x ² dx ose d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Ku d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ne tani gjeni funksioni y = 1 / x me derivatin. Atëherë d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Pra DY = ─ Δh / x ^2.

Diferencialet funksionet themelore algjebrike janë dhënë më poshtë.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencial

Për të vlerësuar funksionin f (x), dhe e saj derivative f '(x) në x = a është shpesh i vështirë, por për të bërë të njëjtën gjë në afërsi të x = a nuk është e lehtë. Pastaj vijnë në ndihmë të shprehjes përafërt

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Kjo i jep një vlerë të përafërt të funksionit në rritje të vogël përmes diferenciale e saj Δh f '(a) Δh.

Pra, kjo formula jep një shprehje e përafërt për funksionin në pikë në fund të një pjese të një gjatësi Δh si një shumë të vlerës saj në pikën e fillimit të pjesës (x = a) dhe diferencial në të njëjtin pike fillestare. Saktësia e metodës për përcaktimin e vlerave të funksionit më poshtë ilustron vizatim.

njohur megjithatë dhe shprehja saktë për vlera të funksionit x = a + Δh dhene nga formula rritje fundme (ose, formula Lagranzhit)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

ku pika x = a + ξ është në intervalin nga x = A në x = a + Δh, megjithëse pozita e saj e saktë nuk dihet. Formula e saktë e lejon për të vlerësuar gabimin e formulës përafërt. Në qoftë se ne kemi vënë në Lagrange formulën ξ = Δh / 2, edhe pse ajo pushon të jetë i saktë, por i jep, si rregull, një qasje shumë më të mirë se shprehje origjinale në drejtim të diferencial.

formula e vlerësimit gabim duke aplikuar diferencial

instrumenteve matëse , në parim, të pasakta, dhe për të sjellë të dhënave të matjes përkatëse të gabimit. Ato karakterizohen nga kufizuar gabimin absolut, ose, në të shkurtër, kufiri i gabimit - pozitiv, duke tejkaluar në mënyrë të qartë gabimin në vlerë absolute (ose në më të barabartë me të). Kufizimi gabimin relativ quhet herësi që përftohet duke e ndarë atë nga vlera absolute e vlerës së matur.

Le të saktë formula y = f (x) Funksioni përdoret për vychislyaeniya y, por vlera e x është rezultat matjes, dhe për këtë arsye sjell gabimin y. Pastaj, për të gjetur kufizuar gabim absolute │Δu│funktsii y, duke përdorur formulën

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

ku │Δh│yavlyaetsya argumenti gabim margjinale. │Δu│ sasia duhet të rrumbullakohet lart, si Llogaritja e pasaktë në vetvete është zëvendësimi i rritjes në llogaritjen diferenciale.