Poligonin e rregullt. Numri i anët e një poligonin rregullt

Triangle, katrore, gjashtëkëndësh - këto shifra janë të njohur për pothuajse të gjithë. Por këtu se është një poligonin rregullt, nuk e di të gjithë. Por kjo është e gjitha e njëjta e forma gjeometrike. Një poligonin rregullt quhet një që ka kënde të barabarta midis tyre dhe në anën. Këto shifra janë të shumta, por ata të gjithë kanë të njëjtat veti, dhe të aplikojnë për ata të njëjtën formulë.

Prona e poligone të rregullta

Çdo poligonin e rregullt, qoftë shesh ose tetëkëndësh, mund të gdhendur në një rreth. Kjo pronë bazë është përdorur shpesh në ndërtimin e figurave. Përveç kësaj, rrethi mund të gdhendur në një poligon dhe. Numri i pikave të kontaktit është e barabartë me numrin e anët e saj. Është gjithashtu e rëndësishme që rrethi gdhendur në një poligonin rregullt do të ketë me vete një qendër të përbashkët. Këto shifra gjeometrike janë subjekt i një teorema. Çdo palë e saktë n-Gon është e lidhur me rrezja e rrethit rreth tij R. Prandaj, ajo mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme: a = 2R ∙ ° sin180. Nëpërmjet rrezja e rrethit mund të gjenden jo vetëm palët, por edhe perimetrin e një poligonin.

Si për të gjetur numrin e anët e një poligonin rregullt

Ndonjë rregullt n-gon është e përbërë nga një numër të segmenteve të barabarta me njëri-tjetrin, e cila, kur kombinohet, formojnë një linjë të mbyllur. Në këtë rast, të gjitha formave kënde formuar kanë të njëjtën vlerë. Poligone janë të ndarë në të thjeshta dhe komplekse. Grupi i parë përfshin trekëndësh dhe sheshin. poligone komplekse kanë një numër më të madh të palëve. Ato gjithashtu përfshijnë një figurë yll-formë. Në komplekse anët rregullta poligonin është gjetur nga shkruajnë ato në një rreth. Këtu është prova. Vizatoni një poligonin rregullt me një numër arbitrar të palëve n. Përshkruani një rreth rreth tij. Bëj një rreze R. Tani imagjinoni se disa duke pasur parasysh n-Gon. Nëse pika e qoshet e tij shtrihen në një rreth dhe të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë dora mund të gjendet nga formula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Gjetja e numrit të anët e trekëndësh të rregullt gdhendur

Barabrinjës trekëndësh - është një poligonin rregullt. Formula do të zbatohet i njëjti me atë të sheshit, dhe n-Gon. Triangle do të konsiderohet i vlefshëm në qoftë se ka të njëjtë përgjatë gjatësisë së pjesës. Kënde janë të barabartë 60⁰. Ndërtuar një trekëndëshi me anët e gjatësi të paracaktuar a. Duke ditur mesataren e tij dhe lartësi, ju mund të gjeni vlerën e anët e saj. Për këtë ne përdorim një metodë për të gjetur formulën përmes = x: cosα, ku x - mesatare apo lartësi. Që të gjitha palët janë trekëndësh të barabartë, ne marrim një = b = c. Pastaj të jetë e vërtetë në vijim deklaratë a = b = c = x: cosα. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të gjeni vlerën e palëve në një trekëndësh barabrinjës, por do t'i jepet lartësi x. Në këtë rast, ajo është parashikuar të jetë në mënyrë rigoroze në bazë të shifrave. Pra, duke e ditur lartësinë e X, të gjejnë një anë e një trekëndësh isosceles përdorur formulën A = B = x: cosα. Pas gjetjes vlerat e një mund të llogaritet nga gjatësia e bazës. Ne aplikojnë teorema e Pitagorës. Ne kërkojmë një bazë gjysmën e vlerës c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Pastaj c = 2xtgα. Kjo është mënyra më e thjeshtë që ju mund të gjeni ndonjë numër të anët e poligonin gdhendur.

Llogaritja e anët e sheshit gdhendur në një rreth

Si çdo poligonin tjetër të rregullt katrore gdhendur ka anët barabarta dhe kënde. Për të përdor të njëjtën formulë si ajo e një trekëndësh. Llogarit anë e sheshit është e mundur përmes vlerës së diagonale. Konsideroni këtë metodë në mënyrë më të detajuar. Është e njohur se diagonale bisects kënd. Fillimisht vlera e saj ishte 90 gradë. Kështu, të dy janë formuar pas ndarjes së trekëndësh drejtkëndëshe. këndet e tyre në bazë do të jetë e barabartë me 45 gradë. Rrjedhimisht, çdo anë e sheshit është e barabartë, që është: a = b = c = d = e e√2 ∙ cosα = 2, ku e - është diagonal e sheshit ose baze formuar pas ndarjes së një trekëndëshi drejtkëndëshe. Kjo nuk është mënyra e vetme për të gjetur anët e sheshit. Skalit figura në një rreth. Njohja e rrezja e rrethit R, ne gjejmë drejtimin e një katror. Ne e llogaritur atë si më poshtë A4 = R√2. Radii poligone rregullt është llogaritur nga formules R = a: 2TG (360 ^o: 2n), ku a - gjatësi anësor.

Si për të llogaritur perimetrin e n-Gon

Perimetri i n-Gon është shuma e të gjitha anët e saj. Është e lehtë për të llogaritur. Ju duhet të dini vlerat e të gjitha palëve. Për disa lloje të poligone, ka formula të veçanta. Ato ju lejojnë të gjeni perimetrin e një shumë më të shpejtë. Është e njohur se çdo poligonin e rregullt ka anët barabarta. Prandaj, në mënyrë që të llogaritur perimetrin e saj, mjafton të dini të paktën një prej tyre. Formula do të varet nga numri i anët e formës. Në përgjithësi, kjo duket si ky: R = një, ku një - vlera anë, dhe n - numri i kënde. Për shembull, për të gjetur perimetrin e një tetëkëndësh rregullt me një anë e 3 cm, ju duhet të shumohen atë nga 8, që është, P = 3 ∙ 8 = 24 cm për një gjashtëkëndësh me një anë e 5 cm është llogaritur si më poshtë :. P = 5 ∙ 6 = 30 cm dhe kështu për të. secili poligoni.

Gjetja e perimetrit të një paralelogram, katrore dhe diamanti

Varësisht se si shumë anë bën një poligonin rregullt, të llogaritur perimetrin e saj. Kjo në masë të madhe lehtëson detyrën. Në të vërtetë, në kontrast me copa të tjera, në këtë rast nuk ka nevojë për të kërkuar për të gjithë duart e tij, mjaft e një. Në të njëjtin parim është në perimetrin e katërkëndësh, që është, katrore dhe diamanti. Pavarësisht faktit që ata janë figura ndryshme, formula për të cilën P = 4a, ku a - anësor. Këtu është një shembull. Nëse një palë është një katror apo një romb 6 cm, ne gjejmë rrethues vijon: P = 4 ∙ 6 = 24 cm V paralelogram janë vetëm drejtime të kundërta .. Prandaj, perimetri i saj janë duke përdorur një metodë tjetër. Pra, ne kemi nevojë të dimë gjatësinë dhe gjerësinë e një figure. Pastaj ne aplikojmë formulën P = (a + b) ∙ 2. paralelogram anët të gjithë të barabartë dhe kënde mes tyre, i quajtur diamanti cilit.

Gjetja e perimetrit të një trekëndësh barabrinjës dhe drejtkëndëshe

Rrethues të drejtë trekëndëshi barabrinjës mund të gjendet nga P formulës = 3a, ku një - gjatësi anësor. Në qoftë se ajo është e panjohur, ajo mund të gjendet përmes mesatare. Në një trekëndësh të drejtë është e barabartë me vlerën janë vetëm dy anët. Baza mund të gjenden nëpërmjet teorema Pythagorean. Pasi do të dinë vlerat e të tre palëve, kemi llogaritur perimetrin. Kjo mund të gjendet duke përdorur formulën R = A + B + c, ku a dhe b - anët barabarta dhe me - një bazë. Kujtojnë se në një trekëndëshi barabrinjës, një = B = a, atëherë a + b = 2a, atëherë P = 2a + c. Për shembull, në anën e një trekëndësh isosceles është e barabartë me 4 cm, të gjejnë bazën e saj dhe rrethues. Llogaritur vlerë hipotenuzë Pitagorës me √a = ² + ² = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm. Ne tani llogaritur perimetrin P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

Si për të gjetur këndet e një poligonin rregullt

Një poligonin rregullt është gjetur në jetën tonë çdo ditë, për shembull, zakonisht katror, trekëndësh, tetëkëndësh. Ajo do të duket se nuk ka asgjë më e lehtë se sa për të ndërtuar këtë pjesë vetë. Por kjo është vetëm në shikim të parë. Për të ndërtuar çdo n-Gon, është e nevojshme të dinë vlerën e kënde të saj. Por si do ti gjeni ato? Shkencëtarët madje e lashtë kanë qenë duke u përpjekur për të ndërtuar poligone të rregullta. Ata artistikisht të përshtaten ato në një rreth. Dhe pastaj mbi të vë në dukje nevojën për pikë, lidh ata me vija te drejta. problemi ishte zgjidhur për ndërtimin e formave të thjeshta. Formulat dhe teorema janë marrë. Për shembull, Euklidi në veprën e tij të famshme "Home" për zgjidhjen e problemeve të përfshira në 3-, 4-, 5-, 6- dhe 15-gons. Ai gjeti mënyra për të ndërtuar dhe për të gjetur kënde. Le të shohim se si të bëhet kjo për 15-Gon. Së pari, ju keni nevojë për të llogaritur shumën e këndeve të saj të brendshme. Është e nevojshme për të përdorur formulën S = 180⁰ (n-2). Kështu, ne jepet një 15-gon, kështu, numrin n eshte 15. zëvendësuar të dhënat e njohura dhe marrin formulën S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Ne kemi gjetur shumën e të gjitha këndet e brendshme e një poligonin 15-njëanshëm. Tani ju duhet për të marrë vlerën e secilit prej tyre. Të gjitha këndet 15 të bëjë llogaritje 2340⁰: 15 = 156⁰. Për këtë arsye, çdo kënd i brendshëm është 156⁰, tani me një sundimtar dhe busull mund të ndërtuar saktë 15-Gon. Por ajo që për më komplekse n-Gon? Shumë shekuj shkencëtarët janë përpjekur për të zgjidhur këtë problem. Ajo u gjet vetëm në shekullin e 18 nga Carl Fridrihom Gaussom. Ai ishte në gjendje për të ndërtuar një 65537 katror. Që atëherë problemi është konsiderohet zyrtarisht zgjidhur plotësisht.

Llogaritja e këndit n-Gon në radian

Sigurisht, ka disa mënyra për të gjetur kënde të poligone. Më shpesh ato janë llogaritur në gradë. Por ne mund të shprehim ato në radian. Si për të bërë atë? Të vazhdojë si më poshtë. Së pari, ne gjejmë se numri i anët e një poligonin rregullt, dhe pastaj të zbriten prej saj 2. Për këtë arsye, ne kemi marrë vlerën N - 2. Multiply dallimin gjetur me numrin n ( "pi" = 3.14). Tani ju vetëm ndani atë produkt me numrin e qoshet në n-Gon. Shqyrtoni shembullin e llogaritjes së të dhënave të njëjtë pyatnadtsatiugolnika. Kështu, numri n eshte e barabarte me 15 Ne zbatohen formulën S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2.72. Kjo, natyrisht, jo e vetmja mënyrë për të llogaritur kënd në radian. Ju thjesht mund të ndajnë madhësinë e një këndi në shkallë nga numri 57.3. Pas të gjitha, kështu që shumë gradë është e barabartë me një radian.

Llogaritja e kënde në grads

Përveç gradë dhe radian, këndet e një poligonin rregullt, ju mund të përpiquni të gjetur vlerën në gradë. Kjo është bërë si më poshtë. Ne zbres nga gjithsej numri 2 kënde të, duke e ndarë diferenca rezulton me numrin e anët e një poligonin rregullt. Gjetur rezultati shumëzohet me 200. Nga rruga, kjo njësi e matjes së kënde si grads, të përdorura vështirë.

Llogaritja e këndeve të jashtme n-Gon

Çdo poligonin e rregullt, përveç familje, ne mund të llogarisim edhe qoshe e jashtme. Vlera e saj është e njëjtë si për figurat e tjera. Pra, për të gjetur një kënd të jashtëm e një poligonin rregullt, ju duhet të dini vlerën e brendshme. Më tej, ne e dimë se shuma e këtyre dy kënde është gjithmonë 180 gradë. Prandaj, llogaritja është bërë si vijon: 180⁰ minus këndin e brendshëm. Ne gjeni dallimin. Ajo do të jetë vlera e kënd ngjitur me të. Për shembull, këndin e brendshëm të sheshit është 90 gradë, atëherë pamja do të jetë 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Siç mund të shohim, ajo është e lehtë për të gjetur. këndi i jashtëm mund të marrë një vlerë prej + 180⁰ në, respektivisht, -180⁰.