Linear dhe ekuacion diferencial homogjene të rendit të parë. shembuj të zgjidhjeve

Unë mendoj se ne duhet të fillojë me historinë e lavdishme mjet matematikore si ekuacione diferenciale. Ashtu si të gjithë njehsim diferencial dhe integral të, këto ekuacione u shpik nga Njutoni në fund të shekullit të 17-të. Ai besonte se ishte zbulimi i tij aq e rëndësishme që edhe mesazhi i koduar, i cili sot mund të përkthehet si vijon: ". Të gjitha ligjet e natyrës përshkruar nga ekuacionet diferenciale" Kjo mund të duket një ekzagjerim, por është e vërtetë. Çdo ligj i fizikës, kimisë, biologjisë, mund të përshkruhet nga këto ekuacione.

Një kontribut i madh në zhvillimin dhe krijimin e teorinë e ekuacioneve diferenciale kanë matematikën e Ojler dhe Lagranzhit. Tashmë në shekullin e 18 ata zbuluan dhe zhvilluar atë që tani është duke studiuar në kurset e larta universitare.

Një moment të ri në studimin e ekuacioneve diferenciale filloi në sajë të Anri Puankare. Ai krijoi një "teori cilësore të ekuacioneve diferenciale", e cila, e kombinuar me teorinë e funksioneve të variablave komplekse kontribuar dukshëm në themelimin e topologji - shkencën e hapësirës dhe pronat e saj.

Cilat janë ekuacionet diferenciale?

Shumë njerëz kanë frikë të frazës "ekuacion diferencial". Megjithatë, në këtë artikull ne do të përcaktojë në detaje thelbin e këtij mjet shumë i dobishëm matematikore të cilat në fakt nuk është e komplikuar sa duket nga titulli. Në mënyrë që të fillojnë të flasin për një ekuacion diferencial të parë të rendit, ju duhet së pari të njihen me konceptet bazë që janë të lidhur në thelb me këtë përkufizim. Dhe ne do të fillojmë me diferencial.

diferencial

Shumë njerëz e dinë këtë term që nga shkolla e mesme. Megjithatë, ende banojnë në atë në detaje. Imagjinoni grafikun e funksionit. Ne mund të rrisë atë në një masë të tillë që çdo segment të saj të bëhet një vijë të drejtë. Ajo do të marrë dy pikat që janë pafundësisht të afërt me njëri-tjetrin. Diferenca ndërmjet koordinatat tyre (X ose Y) është pambarimisht. Dhe kjo quhet diferencial dhe karaktere të caktojë DY (diferencial i Y) dhe DX (diferencial i X). Është e rëndësishme të kuptohet se diferenca nuk është vlera përfundimtare, dhe ky është kuptimi dhe funksioni kryesor.

Dhe tani ju duhet të marrë parasysh elementet e mëposhtme, të cilat ne do të duhet të shpjegojë konceptin ekuacion diferencial. Ajo - derivat.

i prejardhur

Të gjithë ne duhet të keni dëgjuar në shkollë dhe në këtë nocion. Ata thonë se derivativi - është norma e rritjes apo uljes së funksionit. Megjithatë, ky përkufizim bëhet më konfuze. Le të përpiqemi për të shpjeguar kushtet derivat i dallime. Le të kthehemi në funksion te vogël interval me dy pika, të cilat janë të vendosura në një distancë minimale nga njëri-tjetri. Por edhe përtej këtij funksioni në distancë është koha për të ndryshuar për disa vlera. Dhe për të përshkruar këtë ndryshim dhe të dalë me një derivativ që përndryshe do të jetë e shkruar si raporti i dallime: f (x) '= df / DX.

Tani ajo është e nevojshme për t'u marrë parasysh vetitë themelore të derivativit. Nuk janë vetëm tre:

1. shuma derivat ose ndryshimi mund të përfaqësohen si shuma ose diferencës së derivatet e: (a + b) '= një' + b ', dhe (ab)' = a'-b '.
2. Prona e dytë është e lidhur me shumëzimin. punon derivative - është shuma e punimeve të një funksion në një tjetër derivatit: (a * b) '= një' * b + a * B '.
3. Derivati i diferencës mund të shkruhet si ekuacionit të mëposhtme: (a / b) '= (a' * Ba * b ') / b ^2.

Të gjitha këto karakteristika të jetë në dispozicion për gjetjen e zgjidhjeve për ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Gjithashtu, ka derivatet parciale. Supozoni se ne kemi një funksion të Z, e cila varet nga variablave x dhe y. Për të llogaritur derivat e pjesshëm të këtij funksioni, për shembull, në x, ne kemi nevojë për të marrë y ndryshueshme për konstante dhe të lehtë të dallojnë.

integral

Një koncept i rëndësishëm - integrale. Në fakt ajo është e kundërta e derivat. Integrals disa lloje, por zgjidhjet thjeshte e ekuacioneve diferenciale, ne kemi nevojë më të parëndësishëm integrals papërcaktuar.

Pra, çfarë është integral? Le të thonë se ne kemi disa marrëdhënie f të x. Ne kemi marrë prej saj integrale dhe të marrë një F funksion (x) (kjo shpesh është referuar si një primitive), e cila është një derivat i funksionit origjinal. Pra, F (x) '= f (x). Kjo gjithashtu nënkupton se integrale e derivativit është e barabartë me funksionin fillestar.

Në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale është shumë e rëndësishme për të kuptuar kuptimin dhe funksionin e integrale, pasi që shumë shpesh kanë për të marrë ato për të gjetur zgjidhje.

Ekuacionet janë të ndryshme në varësi të natyrës së tyre. Në seksionin e ardhshëm ne do të shikojmë në llojet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë, dhe pastaj të mësojnë se si t'i zgjidhin ato.

Klasa e ekuacioneve diferenciale

"Diffury" ndarë me urdhër të derivativëve të përfshirë në to. Kështu, ka një mënyrë për herë të parë, të dytë, të tretë apo më shumë. Ata gjithashtu mund të ndahen në disa klasa: të zakonshme dhe të pjesshme.

Në këtë artikull, ne do të konsiderojë ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të parë. Shembuj dhe zgjidhjet e kemi diskutuar në seksionet e mëposhtme. Ne e konsiderojmë vetëm KRRT, sepse ajo është llojet më të zakonshme të ekuacioneve. Zakonshëm të ndarë në nënlloje: me variablat ndashëm, homogjene dhe heterogjene. Tjetra ju do të mësoni se si ato ndryshojnë nga njëri-tjetri, dhe të mësojnë se si t'i zgjidhin ato.

Përveç kësaj, këto ekuacione mund të kombinohen, në mënyrë që pasi të kemi marrë një sistem të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë. Sisteme të tilla, ne gjithashtu të shikojmë dhe të mësojnë se si për të zgjidhur.

Pse ne jemi duke marrë parasysh vetëm rendin e parë? Për shkak se ajo është e nevojshme për të filluar me një të thjeshtë dhe të përshkruajnë të gjithë të lidhur me ekuacionet diferenciale, në një artikull të vetëm është e pamundur.

Ekuacionet me ndryshore ndashëm

Kjo është ndoshta ekuacionet më të thjeshtë para rendi diferenciale. Këta janë shembuj që mund të shkruhet si: y '= f (x) * f (y). Për të zgjidhur këtë ekuacion kemi nevojë për formulën e përfaqësimit të derivativit si raport i dallime: y '= Dy / DX. Me atë ne marrim ekuacionin: dy / dx = f (x) * f (y). Tani ne mund të kthehet në metodën e zgjidhjes shembuj standarde: të ndarë variablave në pjesë, dmth të shpejtë përpara të gjithë y e ndryshueshme në pjesën ku ka DY, dhe gjithashtu të bëjë të ndryshueshme x ... Ne marrë një ekuacionin e formës: dy / f (y) = f (x) DX, e cila është arritur duke marrë integrals e dy pjesë. Mos harroni në lidhje konstante që ju doni të vënë pas integrimit.

Zgjidhja e çdo "diffura" - është një funksion i x me y (në rastin tonë), ose në qoftë se ka një kusht numerike, përgjigja është një numër. Le të shqyrtojmë një shembull konkret të gjithë rrjedhën e vendimit:

y '= 2Y * sin (x)

Transferimi variablat në drejtime të ndryshme:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Tani të marrë integrals. Të gjithë prej tyre mund të gjenden në një tabelë të veçantë të integrals. Dhe ne të merrni:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Nëse kërkohet, ne mund të shprehim "Y" si një funksion të "X". Tani ne mund të themi se ekuacion diferencial jonë është zgjidhur, në qoftë se nuk është specifikuar kusht. Mund të përcaktohet kusht, për shembull, y (n / 2) = e. Atëherë ne thjesht do të zëvendësojë vlerën e këtyre variablave në vendimin dhe për të gjetur vlerën e konstante. Në shembullin tonë, ajo është 1.

Homogjene ekuacionet diferenciale rendit të parë

Tani në pjesët më komplekse. Ekuacionet para homogjene rendi diferenciale mund të shkruhet në formën e përgjithshme si: Y '= z (x, y). Duhet të theksohet se funksioni drejta e dy variablave është uniforme, dhe ajo nuk mund të ndahet në dy në varësi të: z X dhe Z të y. Kontrolloni nëse ekuacioni është homogjene apo jo, është fare e thjeshtë: ne kemi bërë zëvendësimit x = k * x dhe y = k * y. Tani ne të prerë të gjithë k. Në qoftë se këto letra janë të rënë, atëherë ekuacioni homogjene dhe mund të sigurtë të vazhdojë për zgjidhjen e tij. Duke parë përpara, ne themi: parimi i zgjidhjes së këtyre shembujve është gjithashtu shumë e thjeshtë.

Ne kemi nevojë për të bërë zëvendësimin: = y t (x) * x, ku t - një funksion që gjithashtu varet nga x. Atëherë mund të shprehë derivat Y '= t' (x) * x + t. Zëvendësuar gjithë këtë në ekuacionin tonë origjinale dhe thjeshtimi atë, ne kemi shembullin e ndarjes së variablave t si x. Zgjidhim dhe marrja varësinë e t (x). Kur e kemi marrë atë, thjesht të zëvendësojë mëparshme tonë zëvendësimit y = T (x) * x. Pastaj ne të marrë varësinë e y për x.

Për ta bërë atë më të qartë, ne do të kuptojmë një shembull: X * Y '= yx * e y / x.

Kur kontrolluar zëvendësimin e të gjithë në rënie. Pra, ekuacioni është me të vërtetë homogjene. Tani të bëjë një tjetër zëvendësim, kemi biseduar për: = y t (x) * x dhe y '= t' (x) * x + t (x). Pas thjeshtimin ekuacionin vijim: T '(x) * x = -e t. Ne të vendosë për të marrë një mostër me variablat të ndara dhe ^{marrim: e -t = ln (C *} x). Ne vetëm duhet të zëvendësojë t nga y / x (sepse nëse y = t * x, atëherë t = y / x), dhe ne kemi marrë ^{përgjigjen: e -Y / x = ln (} x * C).

ekuacion linear diferenciale të rendit të parë

Është koha të marrin në konsideratë një tjetër temë e gjerë. Ne do të shikojmë ekuacionet diferenciale heterogjene të parë të rendit. Si mund ata të ndryshojnë nga dy e mëparshme? Le të përballen me atë. Lineare Ekuacionet parë diferenciale rendi në formën e përgjithshëm të ekuacionit të mund të jenë të shkruar kështu: y '+ g (x) * y = z (x). Duhet sqaruar se z (x) dhe g (x) mund të jenë vlera konstante.

Ja një shembull: y '- y * x = x ^2.

Ka dy mënyra për të zgjidhur, dhe ne të urdhërojë Le të shqyrtojmë dy prej tyre. E para - metoda e variacionit të kosntanta arbitrare.

Për të zgjidhur ekuacionin në këtë mënyrë, është e nevojshme që të vë shenjën e barazimit në anën e parë të djathtë në zero, dhe zgjidhjen e ekuacionit rezulton që pas transferimit të pjesëve të bëhet:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = Xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{X2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{X2 / 2.}

Tani ajo është e nevojshme për të zëvendësuar konstante C ₁ në funksion të V (x), të cilat ne do të gjeni.

y = v * e ^{X2 / 2.}

Nxjerrë një derivat të zëvendësimit:

^{y '= v' * e X2} / ² -X * v * e ^{X2 / 2.}

Dhe zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin origjinal:

v '* e ^{X2 / 2} - x * v * e ^{X2 / 2} + x * v * e ^{X2 / 2} = x ^2.

Ju mund të shihni se në anën e majtë të këtyre dy termave janë ulur. Nëse disa shembull që nuk ka ndodhur, atëherë ju keni bërë diçka të gabuar. Ne vazhdojmë të:

v '* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Tani ne zgjidhim ekuacionin e zakonshme në të cilën ju dëshironi për të ndarë variablave:

dv / dx = x ^{2 /} e ^X2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- X2 / 2} dx.

Për të hequr integrale, ne duhet të aplikojnë integrimit me pjesë këtu. Megjithatë, kjo nuk është temë e këtij neni. Nëse jeni të interesuar, ju mund të mësoni më vete për të kryer veprime të tilla. Nuk është e vështirë, dhe me aftësi të mjaftueshme dhe kujdes nuk është e kohës.

Referuar metodën e dytë zgjidhjen e ekuacioneve jo-homogjene Metoda Bernoulli. Çfarë qasje është më e shpejtë dhe më e lehtë - kjo është deri te ju.

Pra, kur zgjidhjen e këtë metodë, ne kemi nevojë për të bërë zëvendësimin: y = k * n. Këtu, k dhe n - disa funksione në varësi të x. Atëherë derivati do të duket si: y '= k' * n + k * n '. Zëvendësues dy zëvendësime në ekuacionit:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grupi up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Tani ajo është e nevojshme që të vë shenjën e barazimit në zero, që është në kllapa. Tani, në qoftë se ju kombinohen dy ekuacionet që rezultojnë, ne marrim një sistem të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë të zgjidhet:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

Barazia i pari të vendosë se si ekuacion zakonshme. Për ta bërë këtë, ju keni nevojë për të ndarë variablave:

dn / dx = x * v;

dn / n = Xdx.

Ne kemi marrë integrale dhe marrim: ln (n) = x ^2/2. Atëherë, në qoftë se ne shprehim n:

n = e ^{X2 / 2.}

Tani zëvendësojë ekuacionin rezulton në ekuacionin e dytë:

k '* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Dhe transformuar, ne marrim të njëjtin ekuacion si në metodën e parë:

DK = x ^{2 /} e ^X2 / ^2.

Ne gjithashtu nuk do të diskutojnë veprime të mëtejshme. Është thënë se në ekuacione diferenciale të parë të parë të rendit zgjidhje shkakton vështirësi të konsiderueshme. Megjithatë, një ulje të thellë në këtë temë ka filluar të marrë më të mirë dhe më të mirë.

Ku janë ekuacionet diferenciale?

Ekuacionet diferenciale shumë aktive që përdoren në fizikë, si pothuajse të gjitha ligjet themelore janë shkruar në formën diferenciale, dhe ato formula, që ne shohim - një zgjidhje për këto ekuacione. Në kimi, ato janë përdorur për të njëjtën arsye: ligjet themelore janë nxjerrë përmes tyre. Në biologji, ekuacionet diferenciale janë përdorur për të modeluar sjelljen e sistemeve, të tilla si Predator - pre. Ato mund të përdoren gjithashtu për të krijuar modele të riprodhimit, për shembull, koloni të mikroorganizmave.

Si ekuacionet diferenciale të ndihmojë në jetë?

Përgjigja për këtë pyetje është e thjeshtë: asgjë. Nëse ju nuk jeni një shkencëtar apo inxhinier, nuk ka gjasa që ata do të jenë të dobishme. Megjithatë, jo të dëmtojë të dini se çfarë ekuacionin diferencial dhe kjo është zgjidhur për zhvillimin e përgjithshëm. Dhe pastaj pyetja e një bir apo bijë, "atë që një ekuacion diferencial?" nuk ju vendos në një qorrsokak. E pra, nëse ju jeni një shkencëtar ose inxhinier, atëherë ju e dini rëndësinë e kësaj teme në çdo shkencë. Por më e rëndësishmja, se tani në pyetjen "si për të zgjidhur ekuacionin diferencial të rendit të parë?" ju gjithmonë do të jetë në gjendje të japë një përgjigje. Pajtohem, ajo është gjithmonë e bukur kur ti e kupton se çfarë njerëzit janë edhe të frikësuar për të gjetur jashtë.

Problemet kryesore në studim

Problemi kryesor në kuptimin e kësaj teme është një zakon i keq i integrimit dhe diferencimit funksione. Nëse ju jeni të pakëndshme marrë përsipër derivate dhe integrals, kjo është ndoshta vlen më shumë për të mësuar, për të mësuar metoda të ndryshme të integrimit dhe diferencimit, dhe vetëm pastaj do të vazhdojë për studimin e materialit që është përshkruar në artikull.

Disa njerëz janë të befasuar për të mësuar se dx mund të transferohet, si më parë (në shkollë) argumentoi se fraksion dy / dx është e pandashme. Atëherë ju keni nevojë për të lexuar literaturë mbi derivativit dhe për të kuptuar se ajo është qëndrimi i sasive pafundësisht të vogla, të cilat mund të manipulohen në zgjidhjen e ekuacioneve.

Shumë njerëz nuk e kuptojnë menjëherë se zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë - kjo është shpesh një funksion apo neberuschiysya integrale, dhe ky mashtrim u jep atyre një shumë probleme.

Çfarë tjetër mund të studiohen për të kuptuar më mirë?

Ajo është e mirë për të filluar zhytje më tej në botën e njehsim diferencial të teksteve të specializuara, për shembull, në analizat matematikore për studentët e specialiteteve jo-matematikore. Ju pastaj mund të lëvizin në literaturën më të specializuar.

Është thënë se, përveç diferencial, ka ende ekuacionet integrale, kështu që ju gjithmonë do të ketë diçka për të përpiqen për të dhe atë për të studiuar.

përfundim

Ne shpresojmë se pas lexuar këtë artikull ju do të keni një ide se çfarë ekuacionet diferenciale dhe si t'i zgjidhin ato saktë.

Në çdo rast, matematika në ndonjë mënyrë e dobishme për ne në jetë. Ajo zhvillon logjikën dhe vëmendje, pa të cilat çdo njeri, si pa duar.