Një sistem i ekuacioneve lineare algjebrike. Sistemi homogjene e ekuacioneve lineare algjebrike

Në shkollë, secili prej nesh ka studiuar ekuacion dhe, sigurisht, sistemin e ekuacioneve. Por jo shumë njerëz e dinë se ka disa mënyra për të zgjidhur ato. Sot ne do të shohim pikërisht të gjitha metodat për zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve lineare algjebrike, të cilat janë të përbërë nga më shumë se dy ekuacione.

histori

Sot ne e dimë se arti i zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemet e tyre origjinën në Babiloninë e lashtë dhe Egjipti. Megjithatë, barazia në formën e tyre të njohur shfaq ne pas ndodhjes së shenjës së barabartë "=", e cila u prezantua në 1556 nga të dhënat matematikan anglisht. Nga rruga, ky simbol është zgjedhur për një arsye: kjo do të thotë dy segmente paralele të barabarta. Në të vërtetë, shembulli më i mirë i barazisë nuk ka dalë.

Themeluesi i germa moderne dhe simbolet e masë të panjohur, francezët matematikan Fransua Viet. Megjithatë, përcaktimi i tij është shumë e ndryshme nga sot. Për shembull, një katror i një numër i panjohur i caktuar nga shkronja Q (lat "quadratus".), Dhe kubike - (. Lat "CUBUS") letra C. Këto simbole tani duket e pakëndshme, por pastaj ajo ishte mënyra më intuitive për të shkruar një sistem të ekuacioneve lineare algjebrike.

Megjithatë, një disavantazh në metodat mbizotëruese të zgjidhje ishte se Matematikanë kanë konsideruar vetëm rrënjët pozitive. Ndoshta kjo është për shkak të faktit se vlerat negative nuk kanë asnjë aplikim praktik. Një mënyrë ose në një tjetër, por i pari që të konsiderohet rrënjët negative filloi pas matematikës italiane Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dhe Raphael Bombelli në shekullin e 16. Një vështrim modern, metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike (nëpërmjet discriminant) është themeluar vetëm në shekullin e 17 me anë të veprave të Dekartit dhe Njutnit.

Në mes të matematikan zviceran të shekullit të 18 Gabriel Cramer gjetur një mënyrë të re për të bërë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare më të lehtë. Kjo metodë u emërua më vonë pas tij, dhe në këtë ditë ne e përdorin atë. Por në metodën e bisedës Kramer është pak më vonë, por tani për tani ne do të diskutojmë ekuacionet lineare dhe zgjidhjet e tyre veç e veç nga sistemi.

ekuacionet lineare

ekuacioneve lineare - ekuacioni të thjeshtë me ndryshore (a). Ata i përkasin algjebrike. Ekuacionet lineare shkruar në formën e përgjithshme si më poshtë: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... dhe _n * x _n = b. Paraqitja e kësaj forme ne do të duhet në përgatitjen e sistemeve dhe matricat në.

Një sistem i ekuacioneve lineare algjebrike

Përkufizimi i këtij termi është: një grup i ekuacioneve që kanë panjohura të përbashkëta dhe zgjidhje të përgjithshme. Në mënyrë tipike, në shkollë të gjithë zgjidhur një sistem me dy ose edhe tre ekuacione. Por ka sisteme me katër ose më shumë përbërësve. Le të shohim së pari se si për të shkruar ato poshtë në mënyrë që më vonë të ishte i përshtatshëm për të zgjidhur. Së pari, sistemi i ekuacioneve lineare algjebrike do të duken më mirë nëse të gjitha variablat janë shkruar si x me indeksin përkatës: 1,2,3 dhe kështu me radhë. Së dyti, ajo duhet të çojë të gjitha ekuacionet në formën kanonike: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x + ₂ ... dhe _n * x _n = b.

Pas gjithë këtyre hapave, ne mund të fillojnë të ju tregojnë se si për të gjetur zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Shumë për të që do të vijë në matricë dobishëm.

matricë

Matrix - një tabelë që përbëhet nga rreshta dhe kolona, dhe elementet e saj janë në kryqëzimin e tyre. Kjo mund të jetë ose një vlerë të veçantë ose variabël. Në shumicën e rasteve, për të përcaktuar elementët që janë të rregulluar nën subscripts (p.sh., një ₁₁ apo ₂₃ mirë). Indeksi i parë tregon numrin rresht, dhe e dyta - kolonën. matricat e mësipërme si më sipër dhe çdo element tjetër matematikore mund të kryejnë operacione të ndryshme. Kështu, ju mund të:

1) Zbres dhe shtoni të njëjtën madhësi të tabelës.

2) Multiply matricën në çdo numër ose vektor.

3) Ndërroj: transformuar linjave matricës në kolonat, dhe kolonat - në linjë.

4) Multiply matricën, nëse numri i rreshtave është i barabartë me një prej tyre një numër të ndryshëm të kolonave.

Për të diskutuar në detaje të gjitha këto teknika, pasi ato janë të dobishme për ne në të ardhmen. Zbritja dhe shtimin e matricave është shumë e thjeshtë. Që nga viti ne kemi marrë të njëjtën matricën madhësi, çdo element i një tavolinë është e lidhur me çdo element tjetër. Kështu ne shtoni (zbresim) dy prej këtyre elementeve (është e rëndësishme që ata ishin duke qëndruar në të njëjtin terren në matricat e tyre). Kur shumëzuar me numrin e matricës apo vektorit ju thjesht shumohen çdo element të matricës nga ky numër (ose vektor). Transpozimi - një proces shumë interesant. Shumë interesante ndonjëherë për të parë atë në jetën reale, për shembull, kur ndryshon orientimin e një tabletë ose telefon. Ikonat në desktop është një matricë, dhe me një ndryshim të pozitës, është transpozuar dhe të bëhet më i gjerë, por ul në lartësi.

Le të shqyrtojmë më shumë një proces të tillë si shumëzimin e matricës. Edhe pse ai na tha, dhe nuk është e dobishme, por të jenë të vetëdijshëm se është ende e dobishme. Multiply dy matrica mund të jetë vetëm me kusht që numri i kolonave në një tabelë është e barabartë me numrin e rreshtave të tjera. Tani të marrë elemente të një linjë matrix dhe elemente të tjera të kolonës përkatëse. Shumoj secilit shuma tjetër dhe pastaj (d.m.th., per shembull, nje produkt i elementeve ₁₁ dhe ₁₂ dhe ₁₂ në b dhe ₂₂ b do të jenë të barabartë me: nje * b _{11 12} + ₁₂ * b dhe _22). Kështu, një artikull të vetëm tavolinë, dhe një metodë e ngjashme me të është e mbushur më tej.

Tani ne mund të fillojnë të marrin në konsideratë se si për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

gaus

Kjo temë ka filluar të zhvillohet në shkollë. Ne e dimë shumë mirë konceptin e "sistemit të dy ekuacioneve lineare" dhe e di se si t'i zgjidhin ato. Por, çfarë nëse numri i ekuacioneve është më i madh se dy? Kjo do të na ndihmojë Metoda Gauss.

Sigurisht, kjo metodë është i përshtatshëm për t'u përdorur, në qoftë se ju bëni një matricë të sistemit. Por ju nuk mund të konvertohet atë dhe të vendosë vetë.

Pra, si për të zgjidhur atë nga një sistem i ekuacioneve lineare Gausit? Nga rruga, edhe pse këtë metodë dhe emrin e tij, por zbuloi atë në kohët e lashta. Gausit ka një operacion kryhet me ekuacionet, që përfundimisht të rezultojë në tërësinë në formën skalion. Kjo është, ju duhet të lart-poshtë (nëse saktë të vendosur) nga i pari që i ekuacionit fundit zbehur një të panjohur. Me fjalë të tjera, ne duhet të sigurohemi që ne kemi marrë, të themi, tre ekuacione: e para - tre të panjohura, në të dytin - dy në të tretë - një të tillë. Pastaj, nga ekuacioni i fundit, gjejmë panjohur e parë, të zëvendësojë vlerën e saj në pjesën e dytë apo e ekuacionit të parë, dhe për të gjetur më tej dy variablat e mbetura.

Rregulli Cramer

Për zhvillimin e kësaj teknike është jetike për të zotëruar aftësitë e kësaj, zbritja e matricave, si dhe nevojën për të qenë në gjendje për të gjetur përcaktues. Prandaj, në qoftë se ju jeni të pakëndshme bërë këtë të gjithë ose nuk e di se si, është e nevojshme për të mësuar dhe të trajnuar.

Cili është thelbi i kësaj metode, dhe si për ta bërë këtë, të marrë një sistem të ekuacioneve lineare Cramer? Është shumë e thjeshtë. Ne kemi nevojë për të ndërtuar një matricë të numrave (pothuajse gjithmonë) koeficientët e një sistemi të ekuacioneve lineare algjebrike. Për ta bërë këtë, thjesht të marrë numrin e panjohur, dhe ne organizojmë një tryezë në mënyrë që ata janë të regjistruar në sistemin. Në qoftë se para se numri është një shenjë "-", atëherë kemi shkruar koeficient negativ. Pra, kemi bërë matricën e parë të koeficientëve të panjohura, duke mos përfshirë numrin mbas shenjës së barabartë (natyrisht, se ekuacioni duhet të reduktohet në formën kanonike kur e drejta është vetëm një numër, dhe e majta - të gjitha panjohura me koeficientët). Atëherë ju keni nevojë për të bërë një matricat pak - një për çdo variabël. Për këtë qëllim, në matricën e parë është zëvendësuar nga një kolonë secila numra kolonë me koeficientët pas shenjës së barabartë. Kështu ne të merrni një matricat pak dhe pastaj gjeni përcaktues tyre.

Pasi kemi gjetur kualifikuese, është e vogël. Ne kemi një matricë fillestar, dhe ka disa matrica rrjedhin, të cilat korrespondojnë me variablave të ndryshme. Për të marrë një zgjidhje të sistemit, ne ndarjen e përcaktues të tabelës rezulton në përcaktues primar të tabelës. Numri i rezultuar është vlera e një variable. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjitha panjohura.

metoda të tjera

Ka disa metoda në mënyrë që të marrë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Për shembull, një të ashtu-quajtur metoda e Gauss-Jordan, e cila është përdorur për gjetjen e zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve kuadrate, dhe gjithashtu ka të bëjë me përdorimin e matricave. Ekziston edhe një metodë Jacobi për zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve lineare algjebrike. Ai lehtë përshtatet për të gjithë kompjuterat dhe është përdorur në informatikë.

raste të komplikuara

Kompleksiteti zakonisht ndodh në qoftë se numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i variablave. Atëherë ne me siguri mund të themi se, ose sistemi është në kundërshtim (dmth, nuk ka rrënjë), ose numri i vendimeve të saj tenton të pafundësi. Nëse kemi rastin e dytë - është e nevojshme për të shkruar zgjidhje të përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Ajo do të përfshijë të paktën një ndryshore.

përfundim

Këtu kemi ardhur në fund. Për të përmbledhur: ne duhet të kuptojmë se çfarë matrica e sistemit, mësuar për të gjetur zgjidhje të përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Përveç kësaj ne e konsideronim opsione të tjera. Ne artistikisht se si për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare: eliminimit Gaussian dhe sundimit Cramer. Ne biseduam në lidhje me rastet e vështira dhe mënyra të tjera të gjetjes së zgjidhjeve.

Në fakt, kjo çështje është shumë më e gjerë, dhe në qoftë se ju dëshironi të kuptoni më mirë atë, ne ju këshillojmë që të lexoni më shumë nga literatura e specializuar.